daily leetcode - rotate-image - ! - LouisLan的学习简记

2020-02-06 / 2020-02-06 / daily-leetcode

daily leetcode - rotate-image - !

题目地址

https://leetcode.com/problems/rotate-image/

题目描述

You are given an n x n 2D matrix representing an image.

Rotate the image by 90 degrees (clockwise).

Note:

You have to rotate the image in-place, which means you have to modify the input 2D matrix directly. DO NOT allocate another 2D matrix and do the rotation.

Example 1:

Given input matrix = 
[
  [1,2,3],
  [4,5,6],
  [7,8,9]
],

rotate the input matrix in-place such that it becomes:
[
  [7,4,1],
  [8,5,2],
  [9,6,3]
]

Example 2:

Given input matrix =
[
  [ 5, 1, 9,11],
  [ 2, 4, 8,10],
  [13, 3, 6, 7],
  [15,14,12,16]
], 

rotate the input matrix in-place such that it becomes:
[
  [15,13, 2, 5],
  [14, 3, 4, 1],
  [12, 6, 8, 9],
  [16, 7,10,11]
]

思路

在计算机图像处理里，旋转图片是很常见的，由于图片的本质是二维数组，所以也就变成了对数组的操作处理，翻转的本质就是某个位置上数移动到另一个位置上，比如用一个简单的例子来分析：

1  2  3　　　 　　 7  4  1　

4  5  6　　-->　　 8  5  2　　

7  8  9 　　　 　　9  6  3

对于 90 度的翻转有很多方法，一步或多步都可以解，先来看一种直接的方法，这种方法是按顺时针的顺序去覆盖前面的数字，从四个顶角开始，然后往中间去遍历，每次覆盖的坐标都是同理，如下：

(i, j) <- (n-1-j, i) <- (n-1-i, n-1-j) <- (j, n-1-i)

这其实是个循环的过程，第一个位置又覆盖了第四个位置，这里 i 的取值范围是 [0, n/2)，j 的取值范围是 [i, n-1-i)，至于为什么 i 和 j 是这个取值范围，为啥 i 不用遍历 [n/2, n)，若仔细观察这些位置之间的联系，不难发现，实际上 j 列的范围 [i, n-1-i) 顺时针翻转 90 度，正好就是 i 行的 [n/2, n) 的位置，这个方法每次循环换四个数字，如下所示：

1  2  3               7  2  1            7  4  1

4  5  6      -->      4  5  6　　 -->  　 8  5  2　　

7  8  9               9  8  3　　　　   　 9  6  3

解法一：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
            for (int j = i; j < n - 1 - i; ++j) {
                int tmp = matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[n - 1 - j][i];
                matrix[n - 1 - j][i] = matrix[n - 1 - i][n - 1 - j];
                matrix[n - 1 - i][n - 1 - j] = matrix[j][n - 1 - i];
                matrix[j][n - 1 - i] = tmp;
            }
        }
    }
};

还有一种解法，首先以从对角线为轴翻转，然后再以 x 轴中线上下翻转即可得到结果，如下图所示(其中蓝色数字表示翻转轴)：

1  2  3　　　 　　 9  6  3　　　　　     7  4  1

4  5  6　　-->　　 8  5  2　　 -->   　 8  5  2　　

7  8  9 　　　 　　7  4  1　　　　　     9  6  3

解法二：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            for (int j = 0; j < n - i; ++j) {
                swap(matrix[i][j], matrix[n - 1- j][n - 1 - i]);
            }
        }
        reverse(matrix.begin(), matrix.end());
    }
};

最后再来看一种方法，这种方法首先对原数组取其转置矩阵，然后把每行的数字翻转可得到结果，如下所示（其中蓝色数字表示翻转轴，GitHub 上可能无法显示颜色，请参见博客园上的帖子）：

1  2  3　　　 　　 1  4  7　　　　　     7  4  1

4  5  6　　-->　　 2  5  8　　 -->  　  8  5  2　　

7  8  9 　　　 　　3  6  9　　　　       9  6  3

解法三：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
            }
            reverse(matrix[i].begin(), matrix[i].end());
        }
    }
};

思路 2

这道题目让我们 in-place，也就说空间复杂度要求 O(1)，如果没有这个限制的话，很简单。

通过观察发现，我们只需要将第 i 行变成第 n - i - 1 列，因此我们只需要保存一个原有矩阵，然后按照这个规律一个个更新即可。

mark

代码：

var rotate = function(matrix) {
  // 时间复杂度O(n^2) 空间复杂度O(n)
  const oMatrix = JSON.parse(JSON.stringify(matrix)); // clone
  const n = oMatrix.length;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      matrix[j][n - i - 1] = oMatrix[i][j];
    }
  }
};

如果要求空间复杂度是 O(1)的话，我们可以用一个 temp 记录即可，这个时候就不能逐个遍历了。
比如遍历到 1 的时候，我们把 1 存到 temp，然后更新 1 的值为 7。 1 被换到了 3 的位置，我们再将 3 存到 temp，依次类推。
但是这种解法写起来比较麻烦，这里我就不写了。

事实上有一个更加巧妙的做法，我们可以巧妙地利用对称轴旋转达到我们的目的，如图，我们先进行一次以对角线为轴的翻转，然后
再进行一次以水平轴心线为轴的翻转即可。

mark

这种做法的时间复杂度是 O(n^2) ，空间复杂度是 O(1)

关键点解析

矩阵旋转操作

代码

语言支持： JavaScript，Python3

/*
 * @lc app=leetcode id=48 lang=javascript
 *
 * [48] Rotate Image
 */
/**
 * @param {number[][]} matrix
 * @return {void} Do not return anything, modify matrix in-place instead.
 */
var rotate = function(matrix) {
  // 时间复杂度O(n^2) 空间复杂度O(1)

  // 做法： 先沿着对角线翻转，然后沿着水平线翻转
  const n = matrix.length;
  function swap(arr, [i, j], [m, n]) {
    const temp = arr[i][j];
    arr[i][j] = arr[m][n];
    arr[m][n] = temp;
  }
  for (let i = 0; i < n - 1; i++) {
    for (let j = 0; j < n - i; j++) {
      swap(matrix, [i, j], [n - j - 1, n - i - 1]);
    }
  }

  for (let i = 0; i < n / 2; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      swap(matrix, [i, j], [n - i - 1, j]);
    }
  }
};

Python3 Code:

class Solution:
    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        """
        Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        先做矩阵转置（即沿着对角线翻转），然后每个列表翻转；
        """
        n = len(matrix)
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
        for m in matrix:
            m.reverse()
    
    def rotate2(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        """
        Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        通过内置函数zip，可以简单实现矩阵转置，下面的代码等于先整体翻转，后转置；
        不过这种写法的空间复杂度其实是O(n);
        """
        matrix[:] = map(list, zip(*matrix[::-1]))